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L'option européenne

Le problème à résoudre est le suivant :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \partial_t P - M : \nabla \nabla P - r \...
...0 \\ P(S_1=\infty,S_2,t) = 0 \qquad P(S_1,S_2=\infty,t) = 0 \end{array} \right.$ (1)

problème écrit en temps renversé, pour l'inconnue $ P(\overrightarrow{S},t)$, avec :

$\displaystyle M : \nabla \nabla P$ $\displaystyle = \sum_{1\le k,l \le 2} \frac 12 \Xi_{kl} S_kS_l \frac{\partial P}{\partial S_k \partial S_l}$ (2)
$\displaystyle \Xi$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{ll} \sigma_1^2 & \frac{2\rho}{1+\rho^2} \sigma_1 \sigma_2 \\ \text{sym} & \sigma_2^2 \end{array} \right)$ (3)

$ \Xi$ est la matrice de corrélation entre les deux sous-jacents.

Le problème est ensuite écrit sous forme divergence (...), tronqué sur le carré $ \overrightarrow{S} \in [0,S_$max$ ]\times[0,S_$max$ ] = \Omega$, écrit sous forme variationnelle (...).

Puis, il est discrétisé en temps de façon semi-implicite2 :

$\displaystyle \int_\Omega \left( \displaystyle\frac {P^{m+1}-P^m}{\delta t} v +...
...+ \sum_{l=1}^2 (\Xi_{ll} +\frac 12 \Xi_{12} -r)S_l \partial_l P^m v \right) = 0$ (4)

En projetant cela sur une base $ (w_i)_{1\le i \le ns}$ d'éléments finis $ P1$-Lagrange, on en déduit le système linéaire :

$\displaystyle A_{ij} P^{m+1}_{i} = F^m_j$ (5)

$\displaystyle P^m(S)$ $\displaystyle = \sum_{i=1}^{ns} P^m_i w_i(S)$ (6)
$\displaystyle A_{ij}$ $\displaystyle = \int_\Omega w_i w_j (\frac{1}{\delta t} +r) + \int_\Omega (M\nabla w_i). w_j$ (7)
$\displaystyle F^m_j$ $\displaystyle = \sum_{i=1}^{ns} \int_\Omega \frac {1}{\delta t} P^m_i w_i w_j -...
...(\Xi_{ll} +\frac 12 \Xi_{12} -r)S_l P^m_i \frac{\partial w_i}{\partial S_l} w_j$ (8)


Le problème européen (5) est résolu par l'algorithme suivant :


L'algorithme est codé dans le programme BSeuro2D.cpp. Il utilise les routines et objets de fem-V5, légèrement modifiés.


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Jean-Didier Garaud 2005-07-21