L'option américaine

Un put américain a la particularité de pouvoir être exercé à tout moment. La meilleure stratégie consiste alors à l'exécuter lorsque $P(S,t) \ge \phi(S)$. Cela se traduit sur l'équation de Black-Scholes par

$$\left\{ \begin{array}{l} \partial_t P - M : \nabla \nabla P - r \... ...T$} \\ P(S,t) \ge \phi(S) \\ \text {+ conditions aux bords} \end{array} \right.$$ (9)

Une fois discrétisé, le problème devient :

$$A P^{m+1} + \lambda^{m+1} = F^m$$ (10)

$$\lambda - \min \{0 \ ; \ c(P^{m+1} - \phi) \} = 0$$ (11)

La difficulté consiste à déterminer en même temps la solution $P^{m+1}$ et la frontière (caractérisée ici par $\lambda$).

L'algorithme américain est basé sur l'européen, les modifications étant celles de la méthode ``Newton semi-régulier''.

Les modifications notables sont les suivantes :

• La matrice $A$ dépend du temps, mais uniquement à cause des conditions d'exercice. J'assemble donc une fois pour toute une matrice de référence Ag, puis repart de cette base à chaque nouvelle itération, pour construire la matrice courante Ac.
• Introduction du paramètre $\lambda$.
• Pendant un pas de temps, il faut arriver à capturer la frontière libre. Pour cela, on introduit une boucle (arbitrairement 5 itérations) pendant laquelle on résout le problème en faisant évoluer la frontière.